Формирование инвестиционного портфеля коммерческого банка

Статистическая надежность вышеприведенных методов оценивается с помощью коэффициента вариации:

,                                         (29)

где- среднее квадратическое отклонение;

- среднее значение временного ряда.

Метод считается статистически надежным и может быть использован для прогнозирования, если значение коэффициента вариации не превышает 10%.

Однофакторные прогнозирующие функции - это такие функции, в которых прогнозируемый показатель зависит только от одного факториального признака [12 с. 79].

В научно-техническом и экономическом прогнозировании в качестве главного фактора аргумента обычно используют время. Вполне очевидно, что не ход времени определяет величины прогнозируемого показателя, а действие многочисленных влияющих на него факторов. Однако каждому моменту времени соответствуют определенные характеристики всех этих факториальных признаков, которые со временем в той или иной мере изменяются. Таким образом, время можно рассматривать как интегральный показатель суммарного воздействия всех факториальных признаков.

В качестве фактора-аргумента в однофакторной прогнозирующей функции можно использовать не только время, но и другие факторы, если известна их количественная оценка на перспективу.

Наиболее простым из методов прогнозирования является экстраполяция тренда явления за истекший период. Тренд характеризует процесс изменения показателя за длительное время, исключая случайные колебания. Тренд явления находят путем аппроксимации фактических уровней временного ряда на основе выбранной функции. Наиболее часто применяемые при прогнозировании функции показаны в таблице 1. В них фактор-аргумент обозначен символом t [6 с32].

При прогнозировании колебательных (циклических) процессов применяют тригонометрические функции, ряды Фурье.

Степенной полином может описать любые процессы изменения показателя y в зависимости от значений t. Корреляционное отношение для степенного полинома, служащее мерой тесноты корреляционной связи в нелинейных моделях, приближается к единице по мере увеличения числа степеней полинома до числа уровней временного ряда. Одновременно линия регрессии приближается к фактическим уровням показателя за прошедшее время, что не позволяет установить его тренд и экстраполировать его на перспективу. Поэтому для прогнозирования обычно не применяют полином выше третьей степени. Таким образом, в качестве прогнозирующей функции целесообразно использовать лишь три частных случая степенного полинома: линейную модель, параболу и полином третьего порядка.

Однофакторная линейная модель отражает постоянный ежегодный абсолютный прирост в размере a1, т.е. арифметическую прогрессию. Парабола (степенной полином) второго порядка описывает случаи увеличения абсолютного ежегодного прироста на постоянную величину 2a2, а третьего порядка – S – образную кривую с двумя точками изгибов.

Экспонента первого порядка (показательная функция) предусматривает постоянный ежегодный темп роста, равный процентов (т.е. геометрическую прогрессию), а второго порядка – постоянное увеличение ежегодных темпов роста в раз. Степенная функция соответствует случаю ускоряющегося при а1>1 или замедляющегося при а1<1 роста абсолютного ежегодного прироста. Логарифмическая функция выражает случай сокращения абсолютного ежегодного прироста, а функции Торнквиста и Конюса, комбинация линейной функции с логарифмической – затухающий рост абсолютного ежегодного прироста. Логистическая (сигмоидальная) кривая представляет собой модифицированную геометрическую прогрессию, в которой возрастание затухает по мере приближения к определенному пределу. Наконец, гиперболы характерны для тех случаев, когда в начальной стадии абсолютные уровни показателя резко сокращаются, а на последующих этапах этот процесс сокращения постепенно затухает.

Таблица 1- Однофакторные прогнозирующие функции

Коэффициенты в однофакторных прогнозирующих функциях а0 и а1 определяются с помощью метода наименьших квадратов, сущность которого заключается в минимизации суммы квадратов отклонений фактических значений от расчетных:

,                                           (30)

где- вид исследуемой функции

Пусть временной ряд может быть описан линейной функцией:

.

Подставим это выражение в формулу (30) получим:

.

Возьмем частные производные по а0 и а1:

,

.

В результате алгебраических преобразований данной системы: (сокращений, раскрытия скобок, переноса известных величин вправо, а неизвестных влево) - получим систему нормальных уравнений:

Из первого уравнения найдем а0, из второго – а1.

Формулы расчета а0 и а1 имею вид:

,                                       (31)

или                                      

Прогнозируемые значения показателя у определяется по формуле:

=а0+а1(t+L),                                          (32)

где L=1,2,…

Если фактором-аргументом является время t. В случае, когда фактор-аргумент – независимая переменная (любой показатель х) то необходимо найти его прогнозируемые значения. Тогда:

=а0+а1хt+L,                                     (33)

где L=1,2,…

Для оценки качества и надежности анализа регрессии используются следующие показатели: корреляционное отношение (η), коэффициент парной корреляции (r), коэффициент детерминации (r2), средняя ошибка предвидения (Sс), средняя ошибка коэффициента регрессии (Sаj, j=0, 1,2, …).

Корреляционное отношение (η) указывает на степень взаимозависимости между у и х. Принимает значения между 0 и 1:

,                                   (34)

Коэффициент парной корреляции может быть определен по формуле:

,                                         (35)

где S11, S22, S12 – соответственно остаточные дисперсии для функции, фактора-аргумента и их произведения: определяются по формулам:

;

;

.

Коэффициент корреляции, рассчитывается по формуле (35) и принимает значения от -1 до +1. Чем ближе значения коэффициента к единице, тем большая связь существует между функцией и аргументом.

Для проверки гипотезы о наличии связи определим критерий Стьюдента:

,                                           (36)

Если tr>tтабл, то принимаем гипотезу о наличии связи, в противном случае – она отсутствует.

Коэффициент детерминации (r2) показывает, насколько уравнение регрессии подходит к значениям временного ряда или какой процент составляют учтенные факторы в уравнении регрессии.

Точность регрессионной модели определяется с помощью средней ошибки предвидения или среднего отклонения по формуле:

,                                    (37)

Средняя ошибка коэффициентов регрессии определяется по формуле:

,                                        (38)

или                                         ,

где j=1, 2, … , m;

m – число факторов;

t=1, 2, … , n;

n – число данных.

Оценка Стьюдента (tаj) показывает удельный вес фактора-аргумента х при объяснении у. Она вычисляется делением коэффициентов aj на их средние ошибки Saj:

,                                                  (39)

Оценка Стьюдента показывает, во сколько раз значения j-го коэффициента превосходят его среднюю ошибку. Любое значение taj больше 2 или меньше -2 считается приемлемым. Чем больше величина taj, тем больше значимость коэффициентов регрессии, тем надежнее уравнение регрессии [22].

Статистическая надежность аппроксимирующей функции или коэффициента парной корреляции устанавливается также с помощью критерия Стьюдента (30).

С вероятностью ошибки р и с (n-2) степенями свободы выбранная функция признается статистически надежной, если рассчитанное значение критерия tr превышает табличное.

Ошибкой прогноза называется отклонение предсказанного значения от наблюдаемого (фактического). Для оценки совокупной ошибки прогноза используются два показателя: средняя абсолютная ошибка ( ) и средняя относительная ошибка ( ), которые определяются по формулам:

,                                               (40)

,                                    (41)

С помощью метода наименьших квадратов могут быть определены а0 и а1 во всех однофакторных прогнозирующих функциях, если эти функции предварительно линеаризовать, т.е. преобразовать в линейную модель. Линеаризация достигается логарифмированием или получением обратных значений функции, а также заменой переменных, представляющих собой преобразованные значения показателей у и t.

Метод экспоненциального сглаживания. Сущность этого метода заключается в том, что прогноз ожидаемых величин (объемов, продаж и т.д.) определяется путем взвешенных средних величин текущего периода и сглаженных значений, сделанных в предшествующий. Такой процесс продолжается назад к началу временного ряда и представляет собой простую экспоненциальную модель для временных рядов с устойчивым трендом и малыми (независимыми) периодическими колебаниями.

Для многих временных рядов (показателей) наблюдается очевидная картина периодичности и случайности. Поэтому простая экспоненциальная модель расширяется с включением в нее двух последних компонент [22].

Метод авторегрессионного преобразования. Сущность его заключается в построении модели по отклонениям значений временного ряда от выравненных по тренду значений. Пусть эти отклонения представляют собой случайные колебания временного ряда в каждый момент времени t:

,                                               (42)

Тогда для случайной величины εt можно построить модель авторегрессии, т.е. регрессионную модель линейного вида для остатков значений временного ряда. Эти случайные переменные распределены со средним значением 0 и конечным рассеиванием (дисперсией) и подчиняются закону стохастического линейного разностного уровня 1-го порядка с постоянными коэффициентами (процесс Маркова), то есть:

,                                           (43)

где εt-1 – временной ряд случайной компоненты, сдвинутый на один шаг,

t=1, 2, …, n.

По формулам определим b0 и b1, получим:

;

,                                (44)

гдеи - соответственно средние значения по данному временному ряду и сдвинутому на один шаг [22].

Прогнозируемые значения случайной компоненты определяются по формуле:

,                                       (45)

где L=1, 2, …

При L=1 , при L=2, 3, … справедлива формула (44).

Определяем коэффициент автокорреляции r2 по формуле парного коэффициента корреляции. Тогда коэффициент автокорреляции для авторегрессионной модели 1-го порядка равен: