Огляд і аспекти класифікації економіко-математичних моделей управління запасами

 

 

 

 

 

 

 

Кафедра обліку і аудиту

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Первинний звіт

за результатами індивідуальної навчально-дослідної роботи

на тему

«Огляд і аспекти  класифікації економіко-математичних моделей управління запасами»

(мезорівень)

з дисципліни «Економіко-математичні моделі в управлінні та економіці»

 

 

 

 

 

 

Виконавець

 

 

 

 

 

 

 

Чернігів 2013

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Домбровский В.В., Чаусова Е.В. Математическая модель управления

запасами при  случайном сезонном спросе и ненадежных поставщиках / Домбровский В.В., Чаусова  Е.В. // Вестник томского государственного университета. 2000. − № 271. − С. 141-146

 

Проблема управління запасами є однією з найбільш важливих в організаційному управлінні. Але, як правило, не існує типових рішень - умови на кожному підприємстві або фірмі унікальні і включають безліч обмежень і різних особливостей. З цим пов'язані і проблеми, що виникають при розробці математичної моделі та визначенні оптимальної стратегії управління запасами. У даній роботі на прикладі фірми, яка займається доставкою кам'яного вугілля в райони Томської області, будується модель управління запасами вугілля і здійснюється пошук оптимальної стратегіі поведінки, яка гарантує фірмі отримання найбільшого прибутку, враховуючи всі особливості її споживачів, постачальників і ринку, на якому вона працює.

У розділі 1 досліджується структура формування запасів розглянутої фірми, що дозволяє встановити характер даної системи управління запасами.

У розділі 2 наводиться загальна схема побудови оптимізаційної моделі для знаходження оптимальної стратегії управління запасами з точки зору отримання мінімуму загальних очікуваних витрат за весь період планування запасів і досягнення бажаного рівня обслуговування споживачів. При цьому враховується існуючий ряд обмежень на обсяги оформлюваних замовлень, які пов'язані з можливостями і надійністю постачальників, специфікою транспортування вантажу, пропускною здатністю річкового порту та об'ємом майданчики, орендованій у річкового порту, для зберігання вугілля.

У розділі 3 проводиться аналіз рішення, отриманого засобом моделі, описаної в розділі 2. Досліджуючи побудовані оптимальні стратегії управління запасами для різних рівнів запасу на початок періоду планування,

вдається виявити ряд  закономірностей щодо отримано результату поточного рівня запасів на складі і сполученого з ним рівня обслуговування споживачів.

 

1. Структура формування запасів на фірмі

Фірма повинна розробити календарну програму формування запасів вугілля на майбутній період планування. В якості критерію оптимальності управління, тобто вибору розміру замовлення, використовуються повні очікувані витрати протягом всього періоду планування. Перерахуємо особливості структури управління запасами на фірмі.

1. Фірма здійснює періодичний  контроль за рівнем запасів і щомісяця поповнює свої запаси, оформляючи заявку на поставку вугілля, розмір якої залежить від рівня запасів на початок поточного місяця, передбачуваної величини сумарного попиту до кінця періоду планування та очікуваної величини поставки.

2. Величина реального попиту  стає відомою тільки після оформлення замовлення на поставку вугілля. Цей попит по можливості задовольняється

за рахунок створених запасів, при дефіциті незадоволений попит відкладається і задовольняється за рахунок наступних поставок.

3. Фірма має декілька постійних  джерел поповнення запасів. При плануванні замовлень перед підприємствам-постачальникам необхідно враховувати реальні можливості і надійність кожного постачальника. Керуючись накопиченим досвідом, бажано робити замовлення більше, ніж імовірно вимагається вугілля насправді, так як велика ймовірність того, що

хтось з постачальників зірве угоду. До того ж завжди може з'явитися «несподіваний клієнт », який не зробив запасів вугілля на зиму.

4. Поставки по кожному замовленню, незалежно від підприємства-постачальника, здійснюються на протязі місяці за попередньою домовленістю про терміни поставки з кожним постачальником.

5. Вартість однієї тонни вугілля  не залежить від

підприємства-постачальника і включає в себе транспортні витрати, пов'язані з перевезенням вантажу по залізниці. Вартість одного вагона вугілля

розраховується з припущення його повної загрузки, тобто фірмі невигідно оформляти замовлення на неповний вагон, тому що це автоматично збільшує вартість одиниці вугілля.

6. Роблячи замовлення на поставку  вугілля, фірма повинна враховувати пропускну спроможність залізниці дороги, обсяг майданчика в річковому порту, яка орендується фірмою для зберігання вугілля, і добову спроможність річкового порту до прийняття вантажу, так як в разі несвоєчасної розвантаження вагонів фірма платить залізниці досить великий штраф за простій вагонів.

Мета фірми - розробити стратегію управління запасами, при якій мінімізується загальна сума очікуваних витрат, пов'язаних з надходженням вугілля в річковій порт, змертвінням капіталу в запасах і штрафом за

відкладений попит, а попит задовольняється із прийнятим рівнем обслуговування споживачів.

 

2. Побудова математичної  моделі оптимального управління запасами

2.1. Побудова цільової функції  для перетворення якісного опису моделі в математичну модель введемо позначення:

і_t - Рівень запасу на початок відрізка t, який може приймати негативні значення за наявності відкладеного попиту;

y_t- нестаціонарна від’ємна дискретна випадкова величина, характери зує попит на вугілля на відрізку де

 N_t- прогнозні значення попиту на вугілля на відрізку t;

  - вектор замовлень, поданий в період t,

де N_t (k) - замовлення k-му постачальнику в період t.

Так як обсяг поставки випадковий і залежить від розміра поданого замовлення конкретного постачальника, введемо вектор невід'ємних дискретних випадкових величин - вектор поставок,

де випадкова величина характеризує обсяг

поставки в період t k-м постачальником і описується

умовним розподілом /

Тоді стан запасу вугілля  на складі можна описати стохастичним різницевим рівнянням:

= +  

В передбачається, що випадкові величини незалежні і стаціонарні. Оскільки в розглянутому випадку попит є нестаціонарним, з яскраво

вираженими сезонними  коливаннями і, взагалі кажучи, залежним, будемо будувати стратегію управління на основі прогнозних значень попиту N_t

Відомо, що будь поставка, незалежно від підприємств-постачальників, має дворівневу структуру і здійснюється за принципом: "все (з ймовірністю p) або нічого (з ймовірністю 1-p)", тоді структура умовного розподілу випадкової величини для  має наступний вигляд:

   

де ймовірність p (k) характеризує надійність k-го постачальника.

Нехай випадкові величини

незалежні , тоді спільний розподіл цих величин при векторі замовлень N_t має вид:

Зауваження: тут випадкові  величини позначені прописними літерами, а прийняті ними значення - малими. Такі позначення будуть використовуватися  протягом всієї роботи.

В якості цільової функції візьмемо суму очікуваних на кожному відрізку планування витрат усіх видів. Нехай b - витрати, пов'язані з виконанням замовлення; h - показник, пов'язаний із заморожуванням грошових коштів, вкладених в одну тонну вугілля; із - штраф за нестачу одиниці продукту протягом одного проміжку часу між двома послідовними кроками, (b, h, c - постійні протягом усього періоду планування).

Нехай всі витрати  визначаються станом системи в кінці  чергового тимчасового проміжку. Тоді очікувані витрати, пов'язані з надходженням вугілля на склад, зберіганням запасів і штрафними втратами у разі відкладеного попиту, на відрізку t при початковому рівні запасів i і векторі замовлень N_t будуть мати вигляд:

де  простір можливих реалізацій

випадкового вектора Х_t при векторі замовлень , . Нехай

Тоді

                                          (1)

 

У прийнятих позначеннях  цільова функція має вигляд

                                             (2)

2.2. Побудова  допустимої області

Розглянемо обмеження  на вектор замовлень  , Поданих у період t, і обсяг запасів i_t

Для побудови допустимої області замовлень введемо ряд позначень. Нехай W - об'єм складу; V – ємність залізничного вагона; Pt-пропускна здатність

порту в період t; ω - бажаний рівень обслуговування (відношення задоволеного попиту до пред’явленого). Задамо можливості постачальників вектором де характеризує величину замовлення, яку реально здатний задовольнити k-ий постачальник за один період.

Згідно перерахованим вище характерним особливостей системи управління запасами фірми, область допустимих рішень можна представити як

 

і задача (2) зводиться  до знаходження на кожному кроці планування запасів невід’ємного цілочисельного вектора і має наступний вигляд:

Простору Q і І_t представлені формулами (3), (4).

 

                                   (3)

,

де  цілі, ;

 

причому якщо

то

де

                                      (4)

Назвемо поведінкою набір  функцій

визначальних для вектора  замовлень, який необхідно сформувати на t-му кроці, якщо наявний рівень запасів дорівнює i. Кожному поведінки буде відповідати певне математичне сподівання сумарних витрат для процесу планування замовлень. Оптимальна лінія поведінки

повинна задовольняти умові  мінімуму повних очікуваних витрат за весь період планування:

,

де і_t відомий до початку процесу планування запасів, а і_t  визначається рекурентним співвідношенням:

                                     (5)

2.3. Визначення  оптимальної стратегії

Введемо послідовність функцій  
де   характеризує повні очікувані витрати за період, що залишився до кінця процесу планування замовлень, включаючи поточний період t, за умови, що залишилося T-t кроків, початковий рівень запасів в поточному періоді t дорівнює i, а при плануванні використовується оптимальна стратегія. На підставі принципу оптимума Беллмана, рекурентне співвідношення динамічних програмування для знаходження оптимальної стратегії, яка мінімізує побудовану цільову функцію, буде наступним:

 

Використовуючи перетворення (1), отримуємо:

де  має сенс ймовірності переходу зі стану, коли рівень запасів на початок відрізка t дорівнював i, у стані

  Рівень запасів на кінець відрізка t,

a - витрата, супутня цьому переходу

 

Особливістю побудованої  моделі є безперервність змінної i, що характеризує поточний рівень запасів вугілля в річковому порту. Це випливає з прямої залежності рівня запасів від величини пред'явленого попиту, яка може приймати не тільки дискретні значення. У цьому випадку неможливо безпосередньо знайти значення функції для кожного допустимого значення i. Тому будемо знаходити для ряду дискретних значень (з метою спрощення обчислень з кроком ), а в інших точках значення визначаються інтерполяцією.

Зауваження. Область Q_t, По якій шукається мінімум , при зростанні числа постачальників різко зростає тому, в цілях скорочення обчислень будемо знаходити не повним перебором по всіх векторах можливих замовлень, а методом покоординатного спуску.

 

3. Перевірка  моделі і аналіз результатів  моделювання

Аналіз продажів вугілля за три роки показав, що попит на вугілля має явно виражений сезонний характер. Для отримання необхідних прогнозних значень попиту використовуємо модель тригонометричного тренда якнайбільш адекватно описує реальний попит:

                                                 (6)

де коефіцієнти  обчислюються методом найменших квадратів.

На рис. 1 зображені графічно фактичні значення продажів вугілля за три роки з отриманим по формулою (6) прогнозом на планований період. Визначимо значення констант, використовуваних в моделі.

Відомо, що обсяг майданчика в порту для зберігання вугілля W = 30000 т.; порт здатний щомісяця приймати до 15000 т., причому в період навігації пропускна спроможність порту зростає майже в 2 рази; ємність залізничного вагона V = 70 т. Фірма має 6 постачальників, n = 6, причому щомісяця кожен постачальник реально здатний поставити не більше 10000 т.; Експертним шляхом величини, що відповідають за надійність кожного постачальника, були вибрані наступним чином: р (1) = 0,9; р (2) = 0,9; р (3) = 0,8;