Методика использования различного построения моделей в процессе обучения младших школьников решению текстовых задач

«Сколько всего детей  занимается в студии?».

А) В студии 20 детей, из них 12 мальчиков.

Б) В студии мальчики и  девочки. Мальчиков на 7 меньше, чем  девочек.

В) В студии 8 мальчиков  и 20 девочек.

Г) В студии занимаются девочки и 8 мальчиков.

5) Выбор  данных.

«На аэродроме было 35 самолетов. Сколько самолетов осталось?»

Выбери данные, которыми можно дополнить условие задачи, чтобы ответить на поставленный в  ней вопрос:

а) Утром прилетело 10 самолетов.

Б) Улетело на 20 самолетов  больше, чем было.

В) Улетело  30 самолетов.

6) Изменение  текста задачи в соответствии  с данным решением. 

Подумай! Что нужно  изменить в текстах задач, чтобы  выражение 9-6 было решением каждой?

А) На двух скамейках сидели 6 девочек. На одной из них 9. Сколько  девочек сидело на второй скамейке?

Б) В саду 9 кустов красной смородины, а кустов черной смородины на 6 больше. Сколько кустов черной смородины в саду?

В) В гараже 9 легковых машин и 6 грузовых. Сколько всего  машин в гараже?

7) Постановка  вопроса соответствующего данной схеме.  

«Коля выше Пети на 20см, а  Петя выше Вовы на 7 см. Рассмотри схему  и подумай, на какой вопрос можно  ответить, пользуясь данным условием      

К.          20 см 

 

            

  

П.

 

В.

                   Рис. 1.3.

 

8) Объяснение выражений, составленных по данному условию.

«Фермер отправил в магазин 45 кг укропа, петрушки на 4 кг больше, чем укропа, и 19 кг сельдерея. Сколько всего килограммов  зелени отправил фермер в магазин?»

Что означает выражения, составленные по условию задачи:

45-19         45+19            45+4                 45-4

9) Выбор  решения задачи.

«Курица легче зайца  на 4 кг, а заяц легче собаки на 8 кг. На сколько собака тяжелее курицы? На сколько курица легче собаки?»

Маша решила эту задачу так: 8+4=12 (кг)

 

К.                                                      

З.

С.                  

                                            Рис. 1.4.

 

А Миша - так: 8-4=4 (кг)

Кто прав: Миша или Маша?

При обучении использованию  схематического чертежа в моделировании  задач на этапе ознакомления используются следующие приемы: разъяснение учителем каждой части схемы; указание к построению модели; моделирование по наводящим вопросам учителя и поэтапное выполнение схемы; предлагается заготовка схемы, а на ней необходимо указать количественные характеристики объектов; дополнение к построению схемы.

По системе развивающего обучения Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова модель выступает как продукт  и как средство осуществления  познавательной деятельности [64]. Обучение моделированию осуществляется на основе изучения основных свойств величин и математических понятий. Каждое задание решается предметно, моделируется схемой и формулами.

Со схемами в системе  Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова дети знакомятся с первых уроков, когда  находят среди разных предметов  одинаковые по какому-либо признаку: длине, площади, форме, объему. Например, учащимся выдается набор полосок разных по длине, ширине и цвету. Их задача – найти равные по какому-либо признаку. Сразу дети находят одинаковые полоски по цвету, затем путем наложения и по длине (ширине). Перед учащимися ставятся следующие задачи:

- Что нужно сделать,  чтобы каждый раз не измерять  полоски, а найти одинаковые  сразу и быстро? (предлагают на  одинаковых полосках поставить  одинаковые значки)

- А как записать  в тетради, что среди полосок есть одинаковые? (нужно их зарисовать и поставить значки).

Далее аналогично сравнивают сосуды по объему и находят равные. После этого дети находят сосуды, одинаковые по другим признакам: материалу, высоте. Записывают, что сосуды равны  по высоте с помощью вертикальных отрезков.

На последующих уроках дети с помощью схем учатся находить и определять равные и неравные величины:

= (равенство)  ≠ (неравенство)

Рис. 1.5.

        Через несколько уроков вводится буквенная символика. Все величины обозначаются буквами русского алфавита. Буквы подписываются и на предметах и на схеме: 

 

          А

А=В

В

                                      Рис. 1.6.

         Делается вывод: равенство величин  можно записать формулой: А=В (например, масса А равна массе В).

Итак, выполняя предметные действия на основе измерения разных величин, отображая  эти действия графически сначала  в виде рисунка, а затем модели, учащиеся подходят к знаково-символической  форме равенства и уравнения.

Далее появляются простые текстовые  задачи и уравнения, которые решаются с опорой на схему. Работа со схемой в текстовых задачах является продолжением, а не новым материалом, как в традиционной системе обучения, поэтому проходит легче, вызывая у детей интерес. Очень важно этот интерес у детей поддержать различными видами работ со схемой, которые помогли бы детям выбирать правильное решение задач. Они следующие:

1) Составление схемы к задаче.

Например, дана задача: «К кормушке прилетело  А синиц и В воробьев. Сколько всего птиц в кормушке?».

На доске вычерчиваются  все схемы, которые предлагают дети. Каждая схема анализируется. После  анализа остаются правильные (1 и 4), из которых выделяется более удобная  для выбора решения.

1)            А	2)
3)                       ?	4)

Рис. 1.7.

Выбрав схему 4, учащиеся объясняют решение задачи так: «Все птицы – это целое, которое  состоит из двух частей: воробьев и синиц. Поэтому, чтобы найти целое (сколько всего птиц), нужно сложить А + В».

2) Составление уравнения (алгебраический способ) к решению задачи.

Анализируя после решения  задачи схему 1, можно составить уравнения  к решению задачи, обозначив через х количество всех птиц:

а) х – А = В  б) х – В = А

    х = А + В      х = А + В

3) Составление задач по схеме.

 

 

 

 

 

Рис. 1.8.

       

           С помощью схемы можно дать  детям понятие обратной задачи. Таким образом, дети решают триаду простых задач:

1) А + В = С – прямая  задача;

2) С – А = В –  первая обратная задача;

3) С – В = А –  вторая обратная задача.

В рамках данного подхода  модели (схемы) являются эффективным  средством поиска решения текстовой задачи.

Как видим, проблеме использования  моделирования в обучении решению  текстовых задач уделяется особое внимание в работах, реализующих  развивающее обучение. В них модель рассматривается как способ интерпретации  задачи, как вспомогательный материал, как продукт и средство осуществления познавательной деятельности, как способ познания, как средство для осуществления семантического и математического анализа материала.

 

 

 

 

1.3. Прием графического моделирования как важное средство обучения младших школьников решению текстовых задач

 

Система текстовых задач – важный элемент начального курса математики. Они выступают, с одной стороны, как объект изучения, исследования, связующим звеном между теорией и практикой, а с другой стороны, текстовые задачи являются одним из средств формирования, усвоения математических понятий.

Принято выделять два  основных типа задач в зависимости  от числа действий, выполняемых в  ходе их решения. Это простые и  составные задачи.

Задача, для решения  которой надо выполнить одно арифметическое действие, называется простой. В свою очередь можно выделить разные виды простых задач. Знание основных типов простых задач, приемов их решения, знание зависимостей между основными величинами позволяет лучше понять и усвоить основные способы решения задач в два и более действий.

Глубина и значимость открытий,  которые делает младший  школьник, решая задачи, определяется характером осуществляемой им деятельности и мерой ее освоения, тем, какими средствами этой деятельности он владеет. Для того, чтобы ученик уже в начальных классах мог выделить и освоить способ решения широкого класса задач, а не ограничивался нахождением ответа в данной, конкретной, задаче, он должен овладеть некоторыми теоретическими знаниями о задаче и, прежде всего, о ее структуре.

Известный отечественный  психолог А.Н. Леонтьев писал: «Актуально сознается только то содержание, которое  является предметом целенаправленной активности субъекта».  Поэтому, чтобы  структура задачи стала предметом  анализа и изучения, необходимо отделить ее от всего несущественного и представить в таком виде, который обеспечивал бы необходимые действия. Сделать это можно путем особых знаково-символических средств – моделей, однозначно отображающих структуру задачи и достаточно простых для восприятия младшими школьниками.

В структуре любой  задачи выделяют:

1) предметную область,  т.е. объекты, о которых идет  речь в задаче;

2) отношения, которые  связывают объекты предметной  области;

3) требование задачи.

Объекты задачи и отношения  между ними составляют условие задачи. Например, в задаче: «Лида нарисовала 5 домиков, а Вова – на 4 домика больше. Сколько домиков нарисовал Вова?» - объектами являются:

1) количество домиков,  нарисованных Лидой (это известный  объект в задаче);

2) количество домиков,  нарисованных Вовой (это неизвестный объект в задаче и согласно требованию искомый).

Связывает объекты  в  задаче отношение «больше на».

Структуру задачи можно  представить с помощью различных  моделей. Все модели принято делить на:

- предметные (вещественные);

- графические;

- символические (или  знаковые).

К графическим моделям  относят рисунок, условный рисунок, чертеж, схематический чертеж (или, короче, схему).

Так, для задачи, приведенной ранее, графическая модель может быть выполнена:

А) в виде рисунка:

Рис. 1.9.

 

Б) в виде условного  рисунка:

Рис. 1.10.

В) в виде чертежа:

             

Рис. 1.11.

 

Г) в виде схематизированного чертежа:

        Рис. 1.12.

 

Главное правило  построения модели состоит в том, что она должна отражать только существенные свойства объекта и структуру  его связей и отношений. Для математической модели задачи главным будет то, что она отражает количественные соотношения предложенной в ней ситуации. А главные связи – это связи между данными и искомым.

Трудность перехода от словесной модели к образу состоит  в том, что ученику надо уметь  отвлечься от наиболее бросающихся  в глаза свойств предмета или  конкретных подробностей текста, т.е. абстрагироваться. Как показывает практика, сделать это младшему школьнику довольно трудно. В этом возрасте преобладает наглядно-образное мышление, которое непосредственно и полностью зависит от восприятия.

Трудность перехода от мыслительной модели к знаково-символической заключается в правильном выборе действия. Если мысленная модель построена правильно, т.е. верно отражает структурные связи между данными и искомым, то выбор действия не затрудняет ученика. Обычно дети, овладевшие умением абстрагироваться, выбор действия выполняют легко и быстро. Однако таких детей немного.

Научить младшего школьника решать задачи по представлению, т.е., пользуясь мысленной моделью, крайне трудно, и почти всегда в  классе есть дети, которые так и  не могут этого сделать.                                                           

            Для того, чтобы помочь ученикам в этой ситуации, необходимо их учить разбивать текст задачи на смысловые части и моделировать ситуации, отраженные в задаче.

Предметное  моделирование дает возможность осмыслить задачу и решить ее практическим способом. При этом рисунки могут изображать реальные предметы, о которых идет речь в задаче (людей, животных, растений, машин и т.п.) или же быть условными, т.е. изображать реальные предметы условно, в виде различных фигур: квадратов, кружков, прямоугольников и т.п.

Использование конкретно воспринимаемой наглядности  помогает осмыслить ситуацию. Однако часто это выглядит так. Детям  предлагается решить задачу: «На поляне сидело 7 зайцев, затем 2 убежали. Сколько зайцев осталось на поляне?» Учитель выставляет на наборном полотне 7 зайцев (или кружков), затем 2 убирает. Естественно, чтобы ответить на вопрос, не надо мысленно представлять себе эту ситуацию и думать над выбором действия. Дети пересчитывают оставшихся зайцев и дают правильный ответ.