Методика использования различного построения моделей в процессе обучения младших школьников решению текстовых задач

- учащимся на доске;

- одновременно учителем  на доске, учащимися в тетради.

Например, дана задача на уменьшение числа на несколько единиц в прямой форме: «На одной полке 8 книг, на другой – на 3 книги меньше. Сколько книг на второй полке?».

В ходе работы над задачей  можно провести беседу:

- О чем говорится  в задаче? (о книгах)

- Где они расположены? (на полках)

- О скольких полках  идет речь в задаче? (о двух)

- Значит, из скольких  частей будет состоять вспомогательная  модель? (из двух)

- Что известно о  числе книг на второй полке? (их на 3 меньше)

- Что значит на 3 меньше? (это столько же, сколько и на первой полке, но без 3, т.е. 8 без 3)

- Как удобно расположить  отрезки? (друг под другом)

- Что известно про  книги на первой полке? (на первой  полке  8 книг)

- Изобразите это на  отрезке произвольной длины и  надпишите, что этот отрезок изображает 8 книг.

- Построим второй отрезок,  разъясняющий количество книг  на второй полке. Как они  будут располагаться? (начертим под  первым отрезком второй такой  же длины, а затем отделим  от него часть, которая будет  изображать 3 книги, и покажем эту часть отрезка пунктиром).

- Что неизвестно в  задаче? (сколько книг на второй  полке).

- Как это обозначить? (на  втором отрезке над оставшейся  частью поставим знак вопроса,  так как изображает искомое  число).

В окончательном виде схематический чертеж будет выглядеть так:

     Рис. 1.18.

 

Когда схематический  чертеж построен, ученики повторяют  по нему задачу, поясняя, что изображает каждое число и вопрос задачи. Полученная схема наглядно отображает данные, вопрос задачи и связи между ними.

На этапе осмысления схематического чертежа, возможно, использовать следующие  приемы:

1) Формулирование текста задачи  по предложенному сюжету и  схематическому чертежу.

Например, по схеме (рис. 1.19) можно составить задачу на деление по содержанию: «8 учеников рассадили по 2 человека за каждую парту. Сколько понадобилось парт, чтобы рассадить всех учащихся?».

                Рис. 1.19.

 

Решение задачи: 8:2=4(парты), т.е. целое делим на мерку и  находим количество мерок.

2) По схеме (рис.1.20) объяснить, что обозначают данные выражения:

                                 2 х 7 (целое)

                                                                              14 : 2 (количество мерок)

                                     Рис. 1.20.                         14 : 7 (мерка)     

                                                   

3) Предлагается заготовка.  Необходимо указать на схеме  количественные характеристики  объектов:

- точное указание модели;

- выбор модели из  числа предложенных.

4) Изменение модели  или количественных характеристик  (рис. 1.20.).

Например, дана задача на нахождение неизвестного слагаемого: «В понедельник у Маши 6 уроков, из них 2 урока в музыкальной школе. Сколько уроков у Маши в основной школе?»  

Рис. 1.21.

 

В первой схеме необходимо переставить количественные характеристики, во второй схеме не соблюден масштаб.

5) Дополнение к построению  схемы.

Предлагается часть схематического чертежа, ученик достраивает его до завершения.

6) Сравнение схем и результатов  нахождения неизвестного (рис. 1.22).

По данным схемам можно  составить задачу на разностное сравнение. Например: «Возле школы было посажено 8 берез и 6 тополей. На сколько больше было посажено берез, чем тополей? На сколько меньше было посажено тополей, чем берез?»

8 – 6 = 2

8 –  6 = 2                                      Рис. 1.22.

 

Вопросы учащимся:

- Что общего в этих  схемах? (количественная характеристика, решение задачи)

- В чем разница? (на  первой схеме требуется узнать, на сколько больше первый отрезок,  чем второй; на второй – на  сколько меньше второй отрезок, чем первый)

7) Сравнение схем и  текстов задач (рис. 1.23).

Рис. 1.23.

 

       Даны  две задачи:

1) «В танцевальный  кружок пришли сначала 5 девочек,  затем 3 мальчика. Сколько детей  пришли в кружок?»

2) «Из танцевального  кружка ушли 5 девочек, затем 3 мальчика. Сколько детей ушли  из кружка?»

Вспомогательные модели одинаковые. Сюжеты задач разные Рассуждения  и решения идентичные.

Итогом обучения построению и осмыслению схематического чертежа является самостоятельное моделирование задач учащимися.

Таким образом, графическая  модель – наиболее удачная опора  для построения мысленной модели задачи: с одной стороны, она достаточно конкретна, воспринимаемая зрительно, с другой – полностью отражает внутренние связи и количественные соотношения задачи.

Работа учителя по обучению младших  школьников решению простых текстовых  задач с применением приема графического моделирования позволяет  ему  в дальнейшем успешно осуществлять обучение этому же приему и при работе над составными текстовыми задачами.

         Во-первых, построение иной модели задачи позволяет определиться ученику со способом решения задачи.

Например, дана задача (3 кл.): «В трех одинаковых ящиках 21 кг апельсинов. Сколько килограммов апельсинов в 8 таких ящиках?». Это типовая задача с пропорциональными величинами - на нахождение четвертого пропорционального.  Традиционная краткая запись – знаковое моделирование:

а) табличная форма  записи:

Масса 1 ящ.	Количество ящ.	Общая масса
? одинакова ?	3 ящ.   8 ящ.	21 кг   ? кг

 

б) линейная форма записи:

3 ящ. - 21 кг

8 ящ. - ? кг

Однако, использование  таблицы предполагает уже хорошее  знание учащимися зависимостей между  данными пропорциональными величинами, т.к. сама таблица этих взаимосвязей не показывает, а поэтому такая модель является более абстрактной.  В линейной форме записи текста задачи отсутствует третья постоянная величина, с поиска которой  и начинается решение задачи. Это также создает трудности в поиске решения задачи для некоторых учеников. Поэтому самой удачной моделью краткой записи текста задачи при первичном знакомстве с данным типом задачи является  графическое моделирование:

а) схематический рисунок:

            21 кг

     

               

    ? кг

 

б) чертеж:             21 кг

      

         

? кг

 

        Путь  анализа решения задачи детям становится более понятным. Рассуждение после построения чертежа ими строится приблизительно так: «Чтобы узнать, сколько килограммов апельсинов в 8 ящиках, нужно знать, прежде всего, сколько килограммов в 1 ящике».

Особенно большую роль играет графическое моделирование  при решении задач на движение (4 кл.). Модель должны создавать сами учащиеся под руководством учителя. Когда модель создается на глазах у детей, это имеет явное преимущество перед применением готовых схем или рисунков.

Чертежи к типовым  задачам на встречное движение или  движение в противоположном направлении  мы представлять здесь не будем, т.к. образцы их  даны на страницах  учебников по математике. Рассмотрим задачу на движение следующего содержания (Кочина Л.П.,4 кл., с.160): «Виктор и Иван бежали наперегонки на коньках с одного места. Через 10 с Иван был впереди Виктора на 30 м. С какой скоростью бежал Виктор, если скорость Ивана была 5 м/с?».  Здесь графическая модель поможет натолкнуть учеников на ход решения задачи:

                5 м/с

И.      

             ? м/с

 В.     

                                                                         30 м

 

Решение:

1. 5 ∙ 10 = 50 (м) – расстояние Ивана
2. 50 – 30 = 20 (м) – расстояние Виктора
3. 20 : 10 = 2 (м/с) – скорость Виктора

           Во-вторых в процессе решения задачи с применением графического моделирования ответ может быть получен гораздо быстрее. Например, задача (4 кл.): «В колхоз привезли 2400 л бензина. В 1-ый день израсходовали 3/10, а во 2-ой день – 2/10 всего количества бензина. Сколько литров бензина израсходовали за эти 2 дня?».

Традиционная  краткая  запись задачи выглядит так:

 

I день - ?, 3/10 от 2400 л  ? л

II день - ?, 2/10 от 2400 л

С помощью этой записи решение задачи запишется так:

1. 2400 : 10 ∙ 3 = 720 (л) – израсходовали в 1-ый день
2. 2400 : 10 ∙ 2 = 480 (л) - израсходовали во 2-ой день
3. 720 + 480 = 1200 (л) – израсходовали за 2 дня

Если же мы построим чертеж к этой задаче, то решение может  быть получено гораздо быстрее.

                                    2400 л

 

      3/10               2/10    

          

Решение: по чертежу видно, что расходовало ровно половина всего бензина, т.е.  2400 : 2 = 1200 (л)

Такой способ решения  задачи Истомина Н.Б. [31, с.203] назвала комбинированным способом решения, т.е. для записи решения могут быть использованы одновременно чертеж и числовое равенство.

В-третьих, графическое моделирование может сразу же дать нам ответ на вопрос задачи.  В этом случае чертеж (схема) может выступать и как способ решения задачи, и как форма записи ее решения [31, с.202]. Рассмотрим следующую задачу: «В двух вагонах ехали пассажиры, по 36 человек в каждом вагоне. На станции из первого вагона вышло несколько человек, а из второго вагона вышло столько, сколько осталось в первом. Сколько всего пассажиров осталось в двух вагонах?». Схема к данной задаче может быть представлена так:

     вышло              осталось

  I в.  

    осталось               вышло

  II в.

 

          В-четвертых, построение иной модели (в первую очередь графической) может позволить найти другой арифметический способ решения задачи. Например, при решении задачи (2 кл.): «На одной машине увезли 28 мешков зерна, на другой на 6 мешков больше, чем на первой, а на третьей на 4 мешка меньше, чем на второй. Сколько мешков зерна увезли на третьей машине?» ученик использует традиционную краткую запись (знаковая модель), которая выглядит так:

I маш. - 28 меш.

II маш. - ?, на 6 меш.б., чем  на I маш.

III маш. - ?, на 4 меш.м., чем на II маш.

С помощью этой модели легко находится такое решение:

1. 28 + 6 = 34 (меш.) - привезли на второй машине
2. 34 – 4 = 30 (меш.) - привезли на третьей машине

Если мы построим чертеж к этой задаче, то легко найдем и  другой способ решения:

28 меш.

 I  6 меш.

 II            

                                                                 4 меш.           

 III                                                 

               

                                        ? меш.

 

 

1. 6 – 4 = 2 (меш.) больше привезли на третьей машине, чем на первой.
2. 28 + 2 = 30 (меш.) - привезли на третьей машине.

Рассмотрим еще одну задачу за 4 кл., с.77 (автор Кочина Л.П.): «Корова за два надоя дала 28 л молока. Утром она дала молока на 4 л меньше, чем вечером. Сколько литров молока надоили утром и сколько вечером?».

Изобразив кратко текст  задачи в виде отрезков, можно быстро и правильно найти пути ее решения:

           4 л  ?

     28 л

         ?

 

1-й способ:    2-й способ:

1. 28 – 4 = 24 (л)   1) 28 + 4 = 32 (л)
2. 24 : 2 = 12 (л)   2) 32 : 2 = 16 (л)
3. 12 + 4 = 16 (л)   3) 16 – 4 = 12 (л)

Итак, успешному решению  задач способствует умение учащихся выделять величины, входящие в задачи, и правильно устанавливать зависимость между ними. А для этого необходимо уметь составлять краткую запись текста задачи так, чтобы она способствовала раскрытию связей между величинами. Другими словами, детей необходимо учить разбивать текст на смысловые части и моделировать ситуации, отраженные в задаче.