Методика использования различного построения моделей в процессе обучения младших школьников решению текстовых задач

Таким образом, весь смысл данного учебного задания, заключающегося в том, чтобы на простых  примерах постепенно обучать ребенка  приемам построения мысленных моделей  и выбору действия с опорой на модель, исходя из смысла происшедших в ситуации изменений, при таком использовании предметного моделирования полностью теряется.

Правильнее  делают те учителя, которые убирают  с полотна зайцев в конверт  или в коробку, т.е., показав ребенку  предмет, облегчив ему дальнейшее создание образа, помогают ему затем мысленно представить себе ситуацию. Только после выбора действия и записи решения и ответа можно опять обратиться к наглядности и предложить пересчитать зайцев для того, чтобы дети убедились, что та мысленная модель, которую они построили, верно отразила ситуацию и поэтому позволила получить правильный ответ.

Постоянное  использование предметного моделирования  имеет и отрицательные последствия.

          Во-первых, как только учитель перестает прибегать к постоянному использованию предметного моделирования задачи (а это обычно происходит при переходе к решению составных задач), часть учеников не справляется с задачей. Привыкнув к постоянной внешней опоре в виде предметной наглядности или картинки, ученик не в состоянии справиться с построением мысленной модели без этой опоры.

           Во-вторых, при переходе в средние и старшие классы ученик сталкивается с более сложным абстрактным материалом, который перевести на язык конкретных реальных объектов часто просто не удается, и тогда учебный материал им не понимается и не усваивается.

Другой путь облегчения перехода от словесной модели к представлению ситуации многие учителя начальной школы чаще всего видят в использовании  кратной записи текста задачи, т.е. знаковом моделировании. Например, к задаче: «Марии 5 лет, а брату на 4 года больше. Сколько лет брату?» - при помощи знаковой модели выполняется такая краткая запись:

                                              М. – 5 д.

                                              Б. - ?, на 4 д. больше

Знаковая  модель данной задачи, выполненная  на математическом языке, имеет вид  выражения 5 + 4.

Получается, что задача в одно действие, а  ее краткая запись содержит две строки, причем, чтобы все это написать,  первокласснику понадобиться не менее 5-7 минут. Сделав эту запись, ребенок обычно к тексту больше не возвращается, а в выборе действия руководствуется имеющимся в краткой записи словом «больше».

Естественно возникает вопрос: целесообразно  ли использовать краткую запись при  решении простых задач?

Рассмотрим  составную задачу: «В куске было 15 м ткани. Одному покупателю продали 5 м, а другому 4 м. Сколько метров ткани осталось в куске?» Краткая  запись к ней обычно выглядит так:

Было – 15 м

Продали – 5 м  и 4 м

Осталось - ? м

Если рассматривать  эту краткую запись с точки зрения модели, то основное требование к ней – адекватное отражение структурных связей между данными и искомым здесь не выполнено. Действий в задаче два, а знак вопроса в краткой записи текста задачи один. Поэтому ход решения данной моделью не прогнозируется. Прежде чем перейти к решению, надо еще составить план решения задачи. При этом возникает вопрос: если план решения составлен, зачем нужна краткая запись?

       Психологи  и многие математики рассматривают  процесс решения задачи как процесс поиска системы моделей. Каждая модель выступает как одна из форм отображения сущности (структуры) задачи, а преобразование ее идет по пути постепенного обобщения, абстрагирования и, в конечном результате, построением ее математической модели. Таким образом, чтобы решить задачу, надо построить ее математическую модель, но помочь в этом могут другие модели, называемые вспомогательными.

Данную задачу удобно решать, используя  графическую модель. Графическое  моделирование используется для правильного выбора действия и формирования общего умения решать задачи. Графическое моделирование может быть выполнено либо через чертеж, который представляет собой также условное изображение предметов, взаимосвязей между ними и взаимоотношения величин с помощью отрезков и с соблюдением определенного масштаба, либо через схематический чертеж (схему) – это чертеж, на котором взаимосвязи и взаимоотношения передаются приблизительно, без точного соблюдения масштаба.

Покажем, как для данной задачи может быть представлена графическая модель:     15 м

                          ? м     

Такая модель вызывает конкретное представление ситуации, структуру  связей между данными и искомым  отражает в явном виде, т.е. прогнозирует ход ее решения (в зависимости от того, где поставлен второй знак вопроса, просматриваются разные способы решения). Кроме того, данная модель явно подводит ученика к способу записи решения выражением:

15 – (5 + 4) или (15 –  5) – 4 (выражение также есть знаковая модель). 

Модель, выполненная средствами языка графики, позволяет подняться  на достаточно высокую ступеньку  абстрактности: никаких соотношений  кроме количественных эта схема  не отражает, все второстепенные детали опущены, выбор действия производится без учета главного слова, а только исходя из логики происходящих изменений.

Таким образом, графическая  модель – наиболее удачная опора  для построения мысленной модели задачи: с одной стороны, она достаточно конкретна, воспринимаемая зрительно, с другой – полностью отражает внутренние связи и количественные соотношения задачи.

         Уровень овладения моделированием  определяет успех решающего. Поэтому  обучение моделированию должно  занимать особое и главное  место в формировании умения  решать задачи.

Освоение моделей –  это трудная работа для учащихся, причем трудности связаны не с  абстрактным характером моделей, а  с тем, что, моделируя, учащиеся отображают сущность рассматриваемых в задаче объектов и отношений между ними. Поэтому обучение моделированию необходимо вести целенаправленно, соблюдая ряд условий.

Во-первых, все математические понятия, используемые при решении  задач, должны изучаться с помощью  моделей.

Во-вторых, должна вестись  работа по усвоению знаково-символического языка, на котором строится модель. При этом ученик осознает значение каждого элемента модели, осуществляя переход от реальности (предметной ситуации) к модели и, наоборот, от модели к реальности.

В-третьих, необходимый  этап обучения – освоение моделей  тех отношений, которые рассматриваются в задачах. Только освоив модель отношения (т.е. осознав суть этого отношения), учащиеся научатся использовать ее как средство выделения сущности любой задачи, содержащей это отношение.

Чтобы самостоятельно решать задачи, ученик должен освоить различные виды моделей, научиться выбирать модель, соответствующую предложенной задаче, и переходить от одной модели к другой.

Необходимо отметить, что в данной работе мы не касаемся традиционной краткой записи текста задачи - знаковой модели. Этот этап важен, однако, мы исходили из того, что он традиционно присутствует в работе каждого учителя. Поэтому главное внимание мы уделяем тем приемам работы над текстовой задачей, которые в меньшей степени используются в традиционной системе обучения, но помогают пробудить у детей интерес к задаче, к поиску ее решения. Этим эффективным приемом работы над задачей является прием графического моделирования, в частности, одна из его форм -  схематический чертеж.

Схематический чертеж прост для восприятия, так как он наглядно отражает каждый элемент отношения, что позволяет ему оставаться простым и при любых преобразованиях данного отношения; также обеспечивает целостность восприятия задачи; позволяет увидеть сущность объекта в «чистом» виде, без отвлечения на частные конкретные характеристики (числовые значения величин, яркие изображения и др.), что трудно сделать, используя другие графические модели; обладая свойствами предметной наглядности, конкретизирует абстрактные отношения, что нельзя увидеть, например, выполнив краткую запись текста задачи (знаковое моделирование); обеспечивает поиск решения задачи, что позволяет постоянно соотносить графическое и математическое действия.

Опишем подробнее этапы  освоения учащимися графической  модели в виде схематического чертежа для обучения их решению текстовых задач.

В отличие от чертежа схема не предполагает ответа на вопрос задачи без выполнения арифметического  действия над числами, что способствует формированию сознательного и прочного усвоения общего приема работы над  задачей. Данная модель позволяет сформировать у ученика умение разъяснять, как он получил ответ на вопрос задачи. Но схематическая модель эффективна в том случае, когда она понятна каждому ученику и выработаны умения переводить словесную модель на язык схемы.

При обучении решению простых задач  на сложение и вычитание вводят понятия: целое, часть и их соотношения:

-  Чтобы найти часть, нужно  от целого отнять часть.

- Чтобы найти целое, нужно  сложить части.

Введение этих терминов можно осуществить  так.

Пусть дана простая задача на нахождение неизвестного слагаемого: «В кабинете музыки – 8 инструментов. Из них 5 баянов, остальные аккордеоны. Сколько аккордеонов в кабинете музыки?»

- Подчеркните слова, характеризующие  предметы, о которых говорится  в задаче (инструмент, баян, аккордеон)

- Какое из данных слов –  общее для двух других? (инструмент)

- Это целое. О каких инструментах  говорится в задаче? (баян, аккордеон)

- Это части.

Схематический чертеж к  данной задаче будет выглядеть так:

                   Рис. 1.13.

При обучении решению  простых текстовых задач на умножение  и деление предлагаются схема (рис.1.13.) и соответствующие правила:

- Чтобы найти целое,  нужно мерку умножить на количество  мерок.

- Чтобы найти мерку,  нужно целое разделить на количество мерок.

- Чтобы найти количество  мерок, нужно целое разделить  на мерку.

Рис. 1.14.

 

Например, при решении  задачи на нахождение суммы одинаковых слагаемых: «За сочинение 6 учеников получили по две пятерки. Сколько всего пятерок получили эти ученики?» разъяснить понятия: мерка, количество мерок лучше в следующем порядке.

Сначала предложить чертеж (рис. 1.15.) и решить задачу разными арифметическими действиями:

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 12

2 ∙ 6 = 12

Затем предложить схему (рис. 1.16.) и объяснить, что можно не чертить все отрезки, характеризующие пятерки, полученные каждым учеником. В схеме это можно сократить, указав начало и конец, а в середине поставить три точки, что соответствует тому, что между ними есть несколько таких отрезков. Каждый малый отрезок есть мерка. Внизу начертить объединяющую пунктирную линию, которая будет характеризовать число таких отрезков, т.е. количество мерок (в данном случае число учеников). Совокупность всех мерок (оценок)  составляет целое. Вверху начертить объединяющую дугу.

 

Рис. 1.15.

Рис. 1.16.

 

Данный подход к обучению решения позволяет отойти от старой классификации простых задач.

Задача   учителя  состоит в том, чтобы тщательно  продумывать наиболее рациональные формы построения схематической  модели, стремясь выработать у учащихся чутье, подсказывающее им выбор наиболее удачной схемы. Важно изображать данные и искомое так, чтобы достаточно ясно выступали зависимости между величинами, рассматриваемые в задаче, и их отношениями.

Например, дана задача на увеличение числа на несколько единиц в прямой форме: «У Коли  4 яблока, а у Миши на 2 яблока больше. Сколько всего яблок у ребят?». Рассуждения при построении схематического чертежа следующие: «С помощью произвольного отрезка изобразим количество яблок у Коли и надпишем над ним число 4. Так как у Миши на 2 яблока больше, то под первым отрезком начертим сначала отрезок, равный ему (начала отрезков должны находиться на одном уровне), а затем от правого его конца отложим отрезок, условно равный 2. Надпишем над этой частью второго отрезка, что он изображает 2 яблока, а под всем вторым отрезком поставим знак «?», так как это иллюстрирует искомое. Так как главный вопрос задачи, сколько всего яблок, то мы и покажем это на схеме объединив фигурной скобкой».

При обучении использованию  схематического чертежа в моделировании  текстовых задач на этапе ознакомления используются следующие приемы:

1) Разъяснение учителем  каждой части модели (рис.1.17).

Например, дана задача на нахождение суммы: «У Коли 5 книг, а у Саши 3 книги. Сколько книг у Коли и Саши вместе?».

           Рис. 1.17.

 

В задаче говорится о  том, что у Коли и Саши были книги. Первая часть схемы характеризует количественный состав книг Коли, т.е. 5, вторая часть – число книг у Саши, т.е. 3. В схеме известны две части. В задаче спрашивается о том, сколько книг было у Коли и Саши вместе, т.е. совокупность книг двух частей -  это есть целое. Данное требование изображено объединяющей чертой под отрезком и под ней ставят знак вопроса.

2) Указание к построению  модели.

Сначала необходимо выбрать  слова, характеризующие предметы, о  которых говориться в задаче. Затем определить, какое слово включает общее понятие, какие слова являются частями целого.

3) Моделирование по  наводящим вопросам учителя и  поэтапное выполнение схемы:

- учителем на доске;