Лекции по "Математике"

                                                                                                                                                                                                 

  
 
 
 
 
 

                 Г.В. Антонова  
 
 

                 «ФИНАНСОВАЯ  МАТЕМАТИКА» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                     конспект лекций

                     задания для самостоятельной и аудиторной работы

                     типовой расчет

                     методические указания к решению задач 
 
 
 
 

             
 
 
 
 
 
 
 
 

                          г. ВЛАДИМИР    2007г.  
 

      1. ВВЕДЕНИЕ 
 

      В данном курсе рассматриваются основные понятия, которыми оперируют в финансовых вычислениях. Такие как процент, ставка процента, учетная ставка, современная стоимость платежа, методы наращения и дисконтирования платежей.

         Один  из разделов курса посвящен анализу  потоков платежей, расчету их параметров, обеспечивающих желательную эффективность.

        Рассмотренный в курсе материал имеет общий характер и может быть применен в расчетах часто встречающихся на практике финансовых операций: в финансовом менеджменте, в страховом деле, в анализе инвестиционных проектов, расчете кредитных и коммерческих операций, эффективности предпринимательской деятельности и т.д. 
 
 
 

         1.1  ВЕКСЕЛЬ 

         Оформление  денежных отношений между партнерами финансовой сделки может производиться  при  помощи  векселей. 

         Вексель – письменное обязательство заплатить определенную сумму денег в установленный срок. Вексель выдается заемщиком (векселедателем)  кредитору (векселедержателю) и имеет строго установленную форму.

         Дата, до которой деньги должны быть выплачены, называется датой погашения.                 

         Cумма  денег, которая должна быть выплачена, называется суммой погашения или номинальной стоимостью векселя. 

Вексель обладает следующими свойствами:

 

- абстрактность, т.е. отсутствие объяснения причин возникновения долга;

- бесспорность,  т.е. обязательность оплаты;

- обращаемость,  т.е. вексель посредством передаточной подписи может                            

  обращаться среди неограниченного числа клиентов. 
 
 
 

                1.2  ФАКТОР ВРЕМЕНИ В ФИНАНСОВЫХ РАСЧЕТАХ 

         Необходимость учета фактора времени определяется принципом не  равноценности денег, относящихся к разным моментам времени.

         Теоретически любая сумма денег может быть инвестирована и принести доход. Следовательно, сегодняшние деньги ценнее будущих, а будущие поступления менее ценны чем современные. Отсюда очевидна неправомерность суммирования денежных величин, относящихся к разным моментам времени.

         Фактор  времени играет не меньшую роль, чем размеры денежных сумм, и в финансовых вычислениях учитывается в качестве одного из важнейших элементов. Его учет осуществляется с помощью начисления процентов. 
 
 

    1.3  ПРОЦЕНТЫ И ПРОЦЕНТНЫЕ СТАВКИ. 

         Любой человек имеющий свободные деньги может предоставить их в долг другому лицу (инвестировать) за определенное вознаграждение.

         Сумма денег, данных взаймы, называется основной суммой или капиталом.

         Доход от инвестированного капитала, другими  словами вознаграждение за использование денег, называется процентными деньгами или процентами.

         Процентная  ставка – отношение суммы процентных денег, выплачиваемых за фиксированный отрезок времени, к величине основной суммы (капитала). Измеряется в процентах или в виде десятичной дроби.

         Интервал  времени, к которому относится процентная ставка, называют периодом начисления  (обычно год, полугодие, квартал, месяц). Как правило начисление процентов производится дискретно (в отдельные, обычно равноотстоящие, моменты времени).

         Проценты  либо выплачиваются кредитору сразу  после начисления, либо присоединяются к сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их начисления, называется капитализацией процентов. 
 
 
 
 
 
 

         2. ПРОСТЫЕ ПРОЦЕНТЫ. 
 

         Проценты  называются простыми, если базой для их начисления служит первоначальная сумма (весь срок действия договора).

    Пусть  Р – первоначальная сумма денег,

          i – процентная ставка,

          N – календарный срок пользования кредитом (обычно в годах),

          Т – период начисления (для простых процентов обычно год),

          n – срок пользования кредитом в периодах начисления  ( n = N /T, для     простых процентов n = N ),

I – проценты,

          S – наращенная сумма (сумма на счете к концу срока, т.е. S = P + I). 
 
 

         2.1  ФОРМУЛА НАРАЩЕНИЯ ПО ПРОСТЫМ ПРОЦЕНТАМ 

         Пусть  Р - первоначальная сумма денег, i – ставка простых процентов. Тогда Pi – проценты, начисленные за один период, а Pni − за n периодов, т.е. I = Pni.

               Следовательно S = P + I = P + Pni.

                                  S = P (1 + ni)  (1) 

         Формула  (1)  называется формулой наращения по простым процентам или формулой простых процентов.

           Множитель  ( 1+ ni) является множителем наращения. Он показывает во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной.  
 
 

         2.2  ПРАКТИКА НАЧИСЛЕНИЯ ПРОСТЫХ ПРОЦЕНТОВ. 

         Пусть   t - дата выдачи кредита

               t - дата погашения кредита

t   - срок пользования кредитом в днях (день выдачи и погашения кредита считается за один день)

К – количество дней в году  

         Обычно  простая процентная ставка используется для краткосрочных кредитов (срок пользования кредитом менее года) или когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются.

           Ставка  простых процентов как правило устанавливается в расчете на год (поэтому n=N , а  при N<1, n – дробное число). 

         Если  срок пользования кредитом задается двумя календарными датами, то формула (1) приобретает вид: 

                                 S = P (1 + i)  (2)

         Если  число дней в году принимается  равным 360 ( 12 месяцев по 30 дней в каждом ), то начисляемый процент называют коммерческим или обыкновенным. Точный процент получают, если  год принимается равным 365 (366) дням.

         Срок  пользования кредитом также может вычисляться точно (фактическое число дней между двумя датами) или приближенно  (в каждом месяце 30 дней). Подсчет точного числа дней осуществляется с помощью специальной таблицы, в которой представлены порядковые номера дней в году. 

         Решение по формуле (2) возможно с применением трех методик: 

         - (365/365) - Британская практика (точные проценты с точным сроком

                  пользования кредитом);

         - (365/360) - Французская практика (обыкновенные проценты с точным сроком

                  пользования кредитом);

         - (360/360) - Германская практика (обыкновенные проценты с приближенным

                  сроком пользования  кредитом). 

         При заключении сделок необходимо оговаривать  по какой методике производится расчет. Очевидно, что самая выгодная для кредитора – Французская методика. 
 
 

         2.3  ПРОСТАЯ  УЧЕТНАЯ  СТАВКА 

         Учетная ставка используется в том случае, когда за базу начисления процентов  берется наращенная сумма. Расчет первоначальной суммы по наращенной называется дисконтированием.

         Величину  Р , найденную дисконтированием, называют современной величиной (текущей стоимостью) суммы S.

         Проценты  в виде разности S и Р называют дисконтом или скидкой.

         Дисконтирование широко применяется в финансовых расчетах, например, при оформлении векселей.

         Когда вексель покупается ( учитывается) до даты его погашения, цена P, которую будет платить инвестор (ниже номинальной стоимости векселя), обычно определяется одним из двух способов: 

а) инвестор может  установить процентную ставку, которую  он хотел бы реализовать за свою инвестицию. В этом случае для нахождения Р должно быть использовано уравнение простого процента − математическое дисконтирование. 

                           P = S / (1 + in) 

б) для расчета  процентов при учете векселей применяется учетная ставка  

         Учетной ставкой для данного периода времени называется отношение  дисконта за этот период к сумме погашения − банковский или коммерческий учет. 

         Пусть  D – дисконт  (D = S – P)

               d – учетная ставка  (d = D / Sn)

               n − измеряет временной интервал от момента учета векселя до даты его    погашения. 

         Тогда:   P = S (1 – dn)   (3) 

                    (1 – dn) – дисконтный множитель, показывает во сколько раз сумма, полу-    чаемая при учете, меньше номинальной стоимости векселя. 
 
 
 
 
 

         2.4  СРАВНЕНИЕ СТАВКИ НАРАЩЕНИЯ И УЧЕТНОЙ СТАВКИ. 

         Ставка  наращения может использоваться для расчета S по Р (прямая задача) и для расчета Р по S (обратная задача). 

                               S = P (1 + in)   P = S / (1+ in) 

           Аналогично учетная ставка используется  для расчета P по S (прямая задача) и для расчета S по Р (обратная задача).  

                                P = S (1 – dn)   S = P / (1 – dn) 

         Иногда  начисление процентов по ставке наращения и дисконтирование по учетной ставке необходимо совмещать. 

           Например, при учете долгового  обязательства, в котором предусматривается  начисление процентов на первоначальную сумму долга, требуется решить две задачи: определить сумму долга на момент его погашения (рассчитывается по ставке наращения) и вычислить сумму, получаемую при учете (по учетной ставке). 

         Пусть  P - первоначальная сумма долга

               Р - сумма, получаемая при учете

               n -  срок пользования кредитом (в годах)

               n -  срок от момента учета до даты погашения (в годах)