Лекции по "Математике"

p>                а  −  целая  часть числа лет

                b − дробная часть числа лет 
 

         Тогда через 1 год цена будет  L(1 + α)

               через 2 года    −            L(1 + α)²

               .....................................................

               через n лет       −             L(1 + α)ⁿ = L ·I  

I − индекс инфляции (показывает во сколько раз выросли цены за      рассматриваемый период). 

Если рассматриваемый  период не является целым числом (n = a + b),

 то:

                 I = (1 + α)ª · (1 + b · α) 

         - Один из способов компенсации обесценивания денег – увеличение ставки процентов на величину так называемой инфляционной премии. Полученная таким образом ставка называется брутто-ставкой. 

         - Второй способ компенсации − индексация наращенной суммы.

              

         Пусть   S − наращенная сумма с учетом инфляции

                i − брутто-ставка.

                i  − процентная ставка без учета инфляции (реальная доходность) 
 

         а) При начислении простых процентов:  

                 S = Р(1 + ni )  − первый способ учета инфляции

                 S = Р(1 + ni)I  − второй способ  

         Из  равенства результата следует: 

                                  Р(1 + ni ) = Р(1 + ni)I  

                i = ((1 + ni)I -1)/n  i = (1 + ni −I )/nI   (18) 
 
 

         б) Сложные проценты, начисление процентов 1 раз в год (n = N):  

                     S = P(1 + i )  − первый способ учета инфляции

                      S = P(1 + i)  I  − второй способ   (I = (1 + α)ⁿ) 

         Следовательно:

                           P(1 + i ) = P(1 + i) (1 + α)  

         i =  (1 + i)(1 + α) −1   i = (1 + i )/(1 + α) − 1  

         i =  i + (1 + i)α    i = (i − α)/(1 + α)  (19)  

(инфляционная премия равна: (1 + i)α ) 
 

         в) Сложные проценты, начисление процентов m раз в год:  

                     S = P(1 + j /m)  − первый способ учета инфляции

                      S = P(1 + j/m) I  − второй способ   (I = (1 + α) ) 

         Следовательно:

                           P(1 + j /m) = P(1 + j/m) (1 + α)  

           j = ((1 + j/m) (1 + α) − 1)m   j = ((1 + j /m) (1 + α) − 1)m

         j = (m + j) (1 + α) − m   j = (m + j ) (1 + α) − m   (20) 
 
 
 
 
 

         5.  ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ. 

         Ряд последовательных выплат и поступлений  называют потоком платежей. Выплаты – отрицательные величины, поступления – положительные. 

         Аннуитет (финансовая рента) − это поток платежей, сделанных через равные промежутки времени. Все члены ренты положительные величины, обычно одинаковые. 

Финансовая  рента имеет следующие  параметры: 

         · член ренты – величина каждого отдельного платежа.

           Различают постоянные (с равными членами) и переменные ренты. 

         · период ренты – временной интервал между двумя соседними платежами.  

         · срок ренты – время от начала финансовой ренты до конца её последнего

           периода.  

         · процентная ставка - ставка, используемая при дисконтировании

           или наращении платежей. 

         · число платежей в году – различают  годовые (один платеж в году) и

           р-срочные ренты (р – число выплат в году).  

         · число начислений процентов в году – один раз, m раз или непрерывно. 

         · моменты платежа внутри периода ренты – если платежи осуществляются в

           конце каждого периода, ренты называются обычными или постнумерандо.

           Если же выплаты производятся в начале каждого периода -  пренумерандо. 

         · вероятность выплаты – различают ренты верные (подлежат безусловной

           выплате) и условные (выплачиваются при наступлении некоторого случайного

           события). 

         · число членов – ренты с конечным числом членов или ограниченные и

           вечные (бесконечные). 

         · момент начала ренты – в зависимости от наличия сдвига начала срока ренты

           по отношению к началу действия контракта ренты подразделяются на

           немедленные (срок начинается сразу) и отложенные (отсроченные). 
 

Введём некоторые  обозначения.

 Пусть:

               N  – срок ренты (в годах);

            p  − число платежей в год ( Np − число членов ренты);

            R  − годовой платёж (R/p − разовый платёж);

            i  − годовая процентная ставка;

            j  − номинальная процентная ставка;

            m  − число начислений процентов в год;

            n  − число периодов начислений за весь срок ренты (n = Nm);

            S  − наращенная сумма ренты;

            А  − современная величина (стоимость) ренты. 
 
 
 
 
 

         5.1  ФОРМУЛЫ  НАРАЩЕННОЙ СУММЫ. 

         Наращенная  сумма ренты определяется как датированная сумма, эквивалентная всей серии платежей на конец срока.  

         Другими словами наращенная сумма потока платежей - это сумма всех его членов с начисленными на них процентами к концу срока ренты. 
 
 

а) обычная годовая рента. 

         Платежи в конце каждого года, проценты начисляются один раз в год

          (N = n, R − разовый платёж). 

         В конце срока первый взнос эквивалентен сумме: R(1 + i)

                      второй взнос:    R(1 + i)

                      ...............................................................................

                      (n − 1) – ый взнос:   R(1 + i)

                      n − ый взнос:    R 

         Значит:  S = R + R(1 + i) + …….+ R(1 + i)  

         Таким образом, наращенная сумма равна  сумме членов геометрической прогрессии, в которой первый член равен R, знаменатель – (i + 1), а число членов – n.

         Как известно сумма n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:  S =  

         Значит  наращенная сумма обычной годовой ренты равна: 

                     S = R = R = Rs  (21)

                      

         где  s = − коэффициент наращения ренты 

б) Рента р-срочная, р≥1, m≥1 

Это самый общий  случай р-срочной ренты.

Проценты начисляются m раз в год, причем возможно р≥m. 

В конце  срока первый взнос R/p, уплаченный через 1/р года после начала срока ренты, эквивалентен сумме: R/p·(1 + j/m) = R/p·(1 + j/m)   

 второй взнос:  R/p·(1 + j/m) = R/p·(1 + j/m)

                     .........................................................................

(Np − 1) −ый взнос: R/p·(1 + j/m) = R/p·(1 + j/m)  

последний взнос: R/p·(1 + j/m) = R/p 

Значит:  S = R/p + R/p·(1 + j/m) + …..+ R/p·(1 + j/m)  

Таким образом, наращенная сумма равна сумме  членов геометрической прогрессии, в

которой первый член - R/p, знаменатель - (1 + j/m) , а число членов прогрессии – pN. 

         Т.е. S =R/p· = R  (22) 

в) Годовая рента, начисление процентов m раз в год. 

Для вычисления наращенной суммы в этом случае используем формулу (22) при р = 1. 

                  S = R = R   (23) 
 
 

г) Рента р-срочная, m = 1.

                  S = R = R = Rs  (24) 

где s = − коэффициент наращения р-срочной ренты при m = 1. 
 

д) Рента р-срочная, p = m. 

                  S = R = R   (25) 
 
 
 
 
 
 
 

         5.2  ФОРМУЛЫ  СОВРЕМЕННОЙ  ВЕЛИЧИНЫ. 

         Современная величина (стоимость) аннуитета определяется как датированная сумма, эквивалентная всей серии платежей на начало срока ренты.  

         Другими словами под современной величиной аннуитета понимают сумму всех его членов, приведённых (дисконтированных) на некоторый момент времени, совпадающий с началом срока ренты или предшествующий ему. 

а) обычная годовая рента. 

Платежи в конце  каждого года, проценты начисляются  один раз в год

(N = n, R − разовый платёж). 

На начало срока  ренты первый взнос эквивалентен сумме: R(1 + i)

                      второй взнос:    R(1 + i)

                      ...............................................................................

                      (n − 1) – ый взнос:   R(1 + i)

                      n − ый взнос:    R(1 + i)  

         Значит:  А = R(1 + i) + …….+ R(1 + i)  

Таким образом, современная стоимость равна сумме членов геометрической прогрессии,

 в которой  первый член равен R(1 + i) , знаменатель – (1 + i) , а число членов – n. 

         Т.е.  А = R(1 + i) · = R = Rа  (26)

                      

         где  a = − коэффициент приведения ренты. 
 
 

б) Рента р-срочная, р≥1, m≥1 

Это самый общий  случай р-срочной ренты (pN − число платежей). Проценты начисляются m раз в год, причем возможно р≥m. 

На начало срока первый взнос R/p, уплаченный через 1/р года после начала срока ренты, эквивалентен сумме: R/p·(1 + j/m) = R/p·(1 + j/m)  

           второй взнос:  R/p·(1 + j/m) = R/p·(1 + j/m)

                     .........................................................................

(Np − 1) −ый взнос:  R/p·(1 + j/m) = R/p·(1 + j/m)