Лекции по "Математике"

         Тогда:  Р =  P · (1 + n i) · (1 - n d) 
 
 

         3.  СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ.  

         Когда проценты периодически добавляются к основной сумме, а новая сумма используется как основная для следующего временного периода (капитализация процентов), говорят о начислении сложных процентов. 
 

         3.1  ФОРМУЛА НАРАЩЕНИЯ ПО СЛОЖНЫМ ПРОЦЕНТАМ. 

         Если  Р – основная сумма в начале первого периода начисления процента,

              i – процентная ставка. 

         Тогда итог первого периода − (Р + Рi) = Р(1 + i) ,

           т.е. итог периода в (1 + i) раз больше основной суммы этого периода. 

           Итог в конце второго периода  – Р(1 + i)(1 + i) = P(1 + i.)  

           Тогда в конце n периодов:  S = P(1 + i)ⁿ    (4) 

         (1 + i)ⁿ  −  множитель наращения. 

           Равенство (4) называется основной формулой сложного процента. В качестве периода начисления процентов обычно берется целый делитель года, такой как месяц, квартал, полугодие или год. 
 
 

         3.2  НОМИНАЛЬНАЯ  И ЭФФЕКТИВНАЯ СТАВКИ ПРОЦЕНТОВ. 

         Пусть  j – годовая ставка сложных процентов

               m – число периодов начисления в году

               N – календарный срок пользования кредитом (в годах)

               n – срок пользования кредитом в периодах начисления (n = mN)

               Т – период начисления процентов

               а – целая часть n

               b - дробная часть (n = a + b) 

         Ставка сложных процентов j, начисляемая m раз в году, называется номинальной, а проценты каждый период начисляются по ставке j/m.

           Начисление процентов по номинальной ставке производится по формуле: 

                           S = P (1 + j/m)    (5) 

         Если  срок  ссуды измеряется дробным  числом периодов начисления, то наращенную сумму можно рассчитывать математическим (по формуле сложных процентов) или банковским методом (за целое число периодов начисляются сложные проценты, а за дробное – простые).

         Банковский  метод более употребительный и в общем виде формула выглядит следующим образом:

                           S = P· (1 + j/m)ª · (1 + b · j/m) (6) 

         Годовая эффективная процентная ставка i , соответствующая заданной номинальной ставке j, начисляемой m раз в год, - это полная сумма процентов, начисленных за год на каждый рубль капитала, имевшегося в начале года.

           Другими словами эффективная ставка -  это процентная ставка, которая начисляется  один раз в год и  дает тот же финансовый результат, что и ставка сложных процентов, начисляемая несколько раз в год.

         Равный  финансовый результат значит, что за год на каждый рубль капитала, имевшегося в начале года, начислены равные проценты. 

           Следовательно можно записать равенство для соответствующих множителей наращения:

                                 (1 + j/m) = (1 + i )

Отсюда получаем:   i = (1 + j/m) - 1  (7) 

Обратная зависимость  имеет вид:   i = m· ((1 + i ) - 1) (8) 
 
 
 

         3.3  УЧЕТ ПО СЛОЖНОЙ СТАВКЕ ПРОЦЕНТОВ. 

         Рассмотрим  два вида учета: математический и  банковский (также как и в случае простых процентов).  

         а) Математический учет:

                               P = S / (1 + i)ⁿ  

           Если проценты начисляются  m раз в году:

                               P = S / (1 + j/m)    

         б) Банковский учет: в этом случае предполагается использование сложной учетной ставки.

                               P = S (1 – d) ⁿ  (9) 
 

         Пусть  f – номинальная учетная ставка, начисляемая m раз в году, тогда: 

                               P = S(1 – f/m)    (10) 

         Эффективная учетная ставка – это сложная годовая учетная ставка, эквивалентная (по финансовым результатам) номинальной учетной ставке, применяемой m раз в году. 
 

           Запишем равенство для соответствующих  дисконтных множителей: 

                     (1 – f/m)   = (1 – d )  

           Тогда: 

                     d = 1 – (1 – f/m)   (11)

                     f  = (1 − (1 – d ) )·m (12) 
 
 

         3.4 НЕПРЕРЫВНЫЕ ПРОЦЕНТЫ. 

         Чем больше число периодов начисления процентов  в году, тем меньше интервалы между моментами начисления процентов. В пределе при m→∞ имеем: 

         S = P (1 + j/m) = P ((1 + j/m) ) ) = Pe  (m → ∞)

         ( (1 + 1/m) = e  – второй замечательный предел)  

         Ставку  непрерывных процентов называют силой роста и обозначают δ.

          

           Тогда   S = Pe   (13) 

        Дисконтирование на основе непрерывных процентных ставок: 

                          P = Se   (14) 

         Формулу перехода от расчета непрерывных  процентов к дискретным и наоборот можно получить приравняв соответствующие множители наращения: 

         (1 + i) = e   → δ = ln(i + 1)  

                              i = e - 1    
 
 
 

         3.5  РАСЧЕТ СРОКА ССУДЫ И ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК. 

         Нередко начальная и конечная суммы заданы контрактом и требуется определить либо процентную ставку, либо срок платежа.

         Эти величины можно найти из исходных формул наращения или дисконтирования. 
 

а) Простые проценты: S = P (1 + ni) → n = (S/P – 1)/i

                                             i = (S/P – 1)/n

            

                        P = S (1 – dn) → n = (P/S – 1)/d

                                             d = (P/S – 1)/n 
 

б) Сложные проценты: S = P (1 + i) ⁿ   → n =

                                                  i = (S/P) - 1 

                        P = S (1 – d) ⁿ  → n =     

                                                   d = 1 - (P/S)  

в) Номинальная ставка процентов: S = P (1 + j/m)  →  N =

                                                               j = m ((S/P) - 1) 

                                   P = S (1 – f/m)  → N =

                                                               f = m (1 - (P/S) ) 
 

г) Непрерывные проценты:    S = Pe   → N = ln(S/P)/δ

                                                               δ = ln(S/P)/N 
 
 
 
 

         3.6 ФОРМУЛА УДВОЕНИЯ СУММЫ. 

         Для того, чтобы ответить на вопрос через сколько лет сумма ссуды возрастет в K раз при данной процентной ставке, достаточно приравнять множитель наращения величине K (особенно часто используется К = 2). 

          

а) Простые проценты:   (1 + ni) = К → n = (K – 1)/i  (15)

                                 при К = 2  n = 1/i 
 

б) Сложные проценты:  (1 + i)ⁿ = К  → n = lnK/ln(1 + i) (16)

                                 при  К = 2  n = ln2/ln(1 + i) 
 

Для прикидочных  расчетов при ставках сложных процентов менее 10% обычно используют приближенную формулу:

                        ln2 ≈ 0.7;   ln (1 + i) ≈ i → n ≈ 0.7/i.  
 

в) Номинальная  ставка процентов:

                              (1 + j/m) = К → N = lnK/(m·ln(1 + j/m)) (17)

                                 при  К = 2  N = ln2/( m·ln(1 + j/m)) 
 

Для прикидочных  расчетов при ставках за период менее 10% обычно используют приближенную формулу:

                        ln2 ≈ 0.7;   ln(1 + j/m) ≈ j/m → N ≈ 0.7/j.  
 

Данные формулы  полезны при оценке перспектив кредитора (должника). 
 
 
 

         3.7  УРАВНЕНИЯ  ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ. 

         Любые две процентные ставки − номинальные или эффективные, дающие одинаковый финансовый результат в конце года, называются годовыми эквивалентными или просто эквивалентными. 

         Равный  финансовый результат значит, что за год на каждый рубль капитала, имевшегося в начале года, начислены равные проценты.

           Так как результат применения  эквивалентных процентных ставок  одинаков, заданную процентную ставку всегда можно заменить на эквивалентную ей.

           Формулы, устанавливающие правила  перехода от одной ставки к  другой, можно получить, приравняв соответствующие множители наращения (дисконтирования). 

         Использование значений денежных сумм без указания даты бессмысленно. Очевидно, что 1000 рублей сегодня лучше, чем 1500 рублей через 100 лет.

         Сумма платежа с датой погашения  называется датированной суммой. 

         При сравнении датированных сумм нужно обязательно знать используемую процентную ставку.

         Две датированные суммы эквивалентны (при  данной процентной ставке), если при  приведении к одной дате они равны. 

         Приведение − это определение любой стоимостной величины на некоторый момент времени (наращение и дисконтирование могут рассматриваться как частные случаи приведения). 

         Преобразование  делается в соответствии со следующей  временной диаграммой (i − процентная ставка, начисляемая за период): 
 

      Прошлая   Настоящая   Будущая

        дата (-m)      дата (0)     дата(n)

_________I________________________I_______________________I__________________

     P = D(1 + i)             D     S = D(1 + i) ⁿ  
 

         Прошлая и будущая суммы эквивалентны датированной сумме D. 

         Следовательно сумма P (сегодня) эквивалентна сумме Р (через ± n периодов начисления), если

                    P = Р (1 + i) ⁿ     или       P = Р (1 + i)

         4.  НАЧИСЛЕНИЕ ПРОЦЕНТОВ И ИНФЛЯЦИЯ. 

         Инфляция – это процесс обесценивания национальной валюты, т.е. снижение её покупательной способности и общего повышения цен.

         Один  из параметров, характеризующих инфляцию, − уровень инфляции  за год. Он показывает на сколько процентов за год из-за инфляции вырастут цены. 

         Пусть   L  − первоначальная цена товара

                α  −  уровень  инфляции

<