Лекции по "Математике"

последний взнос:  R/p·(1 + j/m) = R/p·(1 + j/m)  
 

Значит:  А = R/p·(1 + j/m) + …..+ R/p·(1 + j/m)  

Таким образом, современная стоимость равна сумме членов геометрической прогрессии,

в которой первый член равен R/p·(1 + j/m) , знаменатель - (1 + j/m) ,

а число членов прогрессии – pN. 

         Т.е.   А = R/p·(1 + j/m) · = R  (27) 
 
 
 

в) Годовая рента, начисление процентов m раз в год. 

Формулу для  вычисления современной величины в этом случае получим из формулы (27) при р = 1.

                  А = R = R   (28) 
 
 

г) Рента р-срочная, m = 1.

                  A = R = R = Ra  (29) 

где a = − коэффициент приведения р-срочной ренты при m = 1. 
 

д) Рента р-срочная, p = m. 

                  А = R = R   (30) 
 
 
 
 
 

         5.3  СВЯЗЬ  МЕЖДУ   СОВРЕМЕННОЙ   ВЕЛИЧИНОЙ  И

                   НАРАЩЕННОЙ  СУММОЙ  РЕНТЫ. 

         Наращенная  сумма и современная стоимость  ренты – эквивалентные суммы, приведённые на начало (современная величина) и конец (наращенная сумма) срока ренты. 

           Докажем это. В общем случае множитель наращения равен (1 + j/m) .  

Тогда на конец  срока ренты современная величина эквивалентна сумме: 

         А(1 + j/m) = R (1 + j/m) = R = S 

На начало срока  ренты наращенная сумма эквивалентна сумме: 

         S(1 + j/m) = R (1 + j/m) = R = A 

         Таким образом мы получили искомый результат. 
 
 
 
 
 

         5.4  ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ  ФИНАНСОВОЙ  РЕНТЫ. 

         Иногда  при разработке контракта необходимо по заданной наращенной сумме ренты  или её современной стоимости  определить остальные параметры. Для этого задаются все параметры кроме одного, который рассчитывается. Такие расчёты повторяются при различных значениях задаваемых параметров, пока не будет достигнуто согласие сторон.

         Рассмотрим  задачу определения параметров ренты  на примере обычной годовой ренты. 

         S = Rs = R    A = Ra = R  (31) 

Решая исходные формулы относительно определяемых параметров, получаем следующие выражения: 
 

а) Определение срока постоянной ренты.

 

         n =    n =  (при R>Ai) (32) 
 

б) Определение размера ежегодного платежа.  

         R = S/ s   или       R = A/ a    (33) 
 

в) Определение ставки процентов.  

         Для того, чтобы определить процентную ставку, необходимо решить одно из нелинейных уравнений относительно i: 

                     s =   a =   (34) 
 

Решение нелинейных уравнений может быть найдено только приближённо с помощью специальных методов (метод линейной интерполяции, метод Ньютона-Рафсона и др.) 

         Пусть i − нижняя оценка процентной ставки

                  i − верхняя оценка процентной ставки

                  s − коэффициент наращения (приведения) ренты для i

                  s − коэффициент наращения (приведения) ренты для i  
 

Рассмотрим алгоритм метода линейной интерполяции: 

· Путем подстановки в одну из формул (34) различных значений i и сравнения результата с фактическими значениями, определим нижнюю и верхнюю оценки процентной ставки. 

·Для корректировки  нижнего значения используем интерполяционную формулу: 

                  i = i + ((s − s )/(s − s ))·( i − i )  (35) 

· Проверим полученную ставку, подставив в уравнение (34). 

·Если точность недостаточна, повторно применим формулу (35), предварительно заменив одну из оценок, и соответствующий ей коэффициент на более точные, полученные на предыдущем шаге.  
 
 
 

         5.5  ПЛАН  ПОГАШЕНИЯ  КРЕДИТА. 

         Одним из пунктов кредитного соглашения, как правило, является план погашения кредита. Рассмотрим алгоритм его составления подробнее. 

ПЛАН  ПОГАШЕНИЯ КРЕДИТА. 

 
 

1)  Cумма полученного кредита – современная величина потока погасительных платежей. Величину погасительного платежа найдем, используя соответствующую формулу для вычисления А (формулы (26) – (30)).

 Полученную  сумму запишем в каждой строке  столбца «4». 

2) В первой строке столбца «2» записываем сумму долга :  А(1) = A. 

3) В первой  строке столбца «3» записываем процентные деньги

за первый период ренты (проценты начисляются на сумму А(1)):   I(1). 

4) В первой строке столбца «5» записываем сумму долга

 погашенного за первый период ренты:  D(1) = R/p − I(1). 

5) Во второй строке столбца «2» записываем сумму долга на начало

 второго периода  ренты:  А(2) = А(1) – D(1). 

6) Во второй  строке столбца «3» записываем проценты

за второй период ренты (проценты начисляются на сумму  А(2)):  I(2). 

7) Во второй строке столбца «5» записываем сумму долга погашенного

 за второй  период ренты:  D(2) = R/p − I(2). 

         Аналогично  заполняются строки остальных периодов ренты.

 Для последнего  периода: А(n) = D(n)

 Для итоговой  строки таблицы должны выполняться  равенства: S(5) = A; S(4) = S(5) + S(3).

         Для компенсации погрешности вычислений (не более 0,5 копейки за период) корректируем сумму процентных денег за последний  период. 

         5.6  РЕНТА  ПРЕНУМЕРАНДО. 

         Иногда  желательно считать, что срок аннуитета  начинается датой первого платежа. В этом случае платежи производятся в начальные моменты интервалов платежа (рента пренумерандо).  

         По  сравнению с аналогичной (с равными  параметрами) рентой постнумерандо у данной ренты на один период начисления процентов больше, или, другими словами, каждый платёж ренты пренумерандо делается на один период раньше, чем платеж ренты постнумерандо. 

         Пусть Ŝ -  наращенная сумма ренты пренумерандо;

                  Â  -  современная стоимость ренты пренумерандо. 

Тогда в самом  общем случае получаем: 

                       Ŝ = S(1 + j/m)   Â = A(1 + j/m)  (36) 
 
 
 
 
 

         5.7  ОТСРОЧЕННЫЕ АННУИТЕТЫ.  

         Когда срок ренты устанавливается начиная  с некоторой даты в будущем  относительно даты заключения сделки, рента называется отсроченной (отложенной). 

         Продолжительность времени от даты заключения сделки до начала срока ренты, называется периодом отсрочки. 

         Наращенная  сумма отсроченного аннуитета вычисляется по обычным формулам.

         Современную величину отложенной ренты можно найти, если найти современную стоимость соответствующей немедленной ренты, а затем привести её (дисконтировать)  на период отсрочки. 
 
 
 
 
 

         5.8  ВЕЧНАЯ  РЕНТА. 

         Вечная рента – это последовательность платежей, число членов которой не ограничено, т.е. она выплачивается неограниченное число лет.  

         Очевидно, что наращенная сумма вечной ренты  с течением времени возрастает неограниченно.

           Определим значение современной стоимости в данном случае. 
 

         В общем случае (р≥1, m ≥1) при N→ ∞:

                             lim A = lim =  (37) 

         а) При р=m: lim A =    (38)

         б) При p=1, m=1:  lim A =   (39) 

         Следовательно современная величина вечной ренты  имеет вполне определенное конечное значение. 
 
 

         5.9  КОНВЕРСИЯ ПОТОКОВ ПЛАТЕЖЕЙ. 

На практике может возникнуть необходимость изменить условия финансового соглашения, предусматривающего выплату аннуитетов (конвертировать ренту). Рассмотрим некоторые типичные ситуации. 

         а) Выкуп ренты. 

Выкуп ренты фактически является заменой предстоящей последовательности выплат одним платежом. Очевидно, что в этом случае вместо ренты выплачивается её современная величина. 

         б) Рассрочка платежей. 

В этом случае единовременный платёж заменяется аннуитетом. Исходя из принципа  финансовой эквивалентности, современную величину ренты следует приравнять заменяемому платежу. Вличину разового платежа опредилим, используя формулы (27) – (30). 

         в) Изменение продолжительности ренты. 

При изменении  срока ренты (c n1 на n2) необходимо изменить разовый платеж (принцип эквивалентности).Величину платежа для изменённой ренты определим используя, уравнение эквивалентности:

         R a = R a   →  R = R  
 

         г) Объединение рент. 

Пусть    A  - современная стоимость заменяющей ренты,

       А - современная величина к –ой объединяемой ренты. 

Тогда, исходя из принципа эквивалентности, при объединении  нескольких рент в одну  

                     A = ∑ А  

6.  Примеры решения задач. 
 

         Задача  1   Банк выдал кредит 10000 руб., за который начислил 250 руб. процентных денег (кредит выдан на 6 месяцев). Какова процентная ставка за этот период?